* Draagvlak voor uw plannen en ideeën?
* Een nieuw plan of een andere campagne?
* Een tekst die effect sorteert?
* Een product of bedrijf?
* Internationale relaties?
* Een evaluatie van uw organisatie en
concurrenten?
* Project- of tijdelijk management?
* Een nieuw plan of een andere campagne?
* Een tekst die effect sorteert?
* Een product of bedrijf?
* Internationale relaties?
* Een evaluatie van uw organisatie en
concurrenten?
* Project- of tijdelijk management?
Directie: drs. Aad van der Werf
* ruime internationale marketingervaring
* achtergrond in fysische chemie en filosofie
* tweevoudige Effie bekroning voor effectieve reclame
* vinoloog van het jaar 1999
Wat is een getal?
Andre van Kruijssen, Zuivere Wiskunde, 2017, p.1:
In plaats van met de vraag: wat bedoelen we met het woord: getal, begin ik met de vraag, wat bedoelen we met het woord: hamer. De betekenis van de hamer kan beschreven worden door wat men er mee kan doen. Iedereen weet wat je met een hamer kunt doen. Verder kan een hamer mooi, lelijk, groot of klein zijn.
In de wiskunde moet het getal 1 onveranderlijk zijn: 1=1. Een fysiek object voldoet daar niet aan: dat verandert in de tijd. Pythagoras had voor dit probleem als oplossing 1=God, met het bijkomstige idee van de onveranderlijkheid. Samengevat: het getal 1, het fundament van de algebra, bestaat alleen maar mentaal.
L.E.J. Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde, 1907, p.3:
Een, twee, drie, de rij dezer klanken (gesproken ordinaalgetallen) kennen we uit ons hoofd als een reeks zonder einde, d.w.z. die zich altijd door voortzet volgens een als vast gekende wet. Naast deze rij van klankbeelden bezitten we andere volgens een vaste wet voortschrijdende voorstellingsreeksen, zo de rij der schrifttekens (geschreven ordinaalgetallen) 1,2,3.
Deze dingen zijn intuitief duidelijk.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, vertaald door W.F. Hermans, 2010, 1975, 1921, 6.021:
Het getal is de exponent van een operatie. (W.F. Hermans: Het hier beweerde heeft geen bijval gevonden.)
(www.sparknotes.com: Frege and Russell both developed ingenious systems to prove that the laws of mathematics could be inferred from basic logical axioms. Though they were largely successful there remained some tensions, as found in Russells Paradox and Russells Axiom of Infinity, which related to the conception of numbers as objects.
In defining mathematics as a method of logic (6.234) Wittgenstein suggests that numbers are not objects that can be constructed out of logical forms. Numbers are exponents of operations (6.021): they constitute a shorthand for expressing how many times an operation has been applied).
Ludwig Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, 1971, 1958, Teil I, 1: Ich gebe ihm einen Zettel, auf diesem stehen die Zeichen: funf rote Apfel.
Nun sagt er die Reihe der Grundzahlworter, ich nehme an, er weiss sie auswendig, bis zum Worte funf und bei jedem Zahlwort nimmt er einen Apfel aus der Lade.
Was ist aber die Bedeutung des Wortes funf? Von einer solchen war hier garnicht die Rede; nur davon, wie das Wort funf gebraucht wird.
Susanne K. Langer, An Introduction To Symbolic Logic, 1953, 1937, p. 312: The abstractness of mathematics has frequently enough been challenged, by thinkers (usually not mathematicians) who maintained that, since numbers express magnitudes and arrangements of things, they must ultimately represent concrete and specific things, or at least our ideas of them. Since mathematics is first approached by the art of counting, the very concept of number must rest upon counting. To the more thoughtful and philosophical among the mathematicians, this challenge offered a real problem. They felt, for the most part, that their critics were confusing the concept of number with the normal and perhaps universal conception by which it is first conveyed to people; but when they tried to define the concept itself, they found themselves at a loss. In what terms could it be defined? The psychological notions of counting proved unsatisfactory, in describing anything beyond the simple manipulation of finite real numbers. All irrational, imaginary, or transfinite numbers had to be regarded as fictions, as impossible assumptions contrary to sense and reason, which mathematicians, in some inexplicable way, found useful in their business.
A. Tarski, Inleiding tot de Logica, Nederlandse bewerking E.W. Beth, 1964, 1953, p. 3:
In de rekenkunde, bijvoorbeeld, vinden we constanten als getal, nul (0), een ( 1), som (.+.), en vele andere. Ieder van deze termen heeft een welbepaalde betekenis die in de loop der beschouwingen niet verandert.
S. Korner, The Philosophy of Mathematics, 1971, 1960, p. 52:
Following Frege and Russell the number 1 is defined as a property or, more usually, as a class, namely the class of all those classes each of which contains a single element.
D. van Dalen, Filosofische grondslagen van de wiskunde, 1978, p. 1-2:
Deze ervaring van ruim een halve eeuw extrapolerend komt men tot het standpunt alles is verzameling of wel WISKUNDE = VERZAMELINGSLEER. De bezwaren tegen genoemd standpunt zijn voornamelijk van inhoudelijke aard. De meeste mensen zullen bijvoorbeeld geneigd zijn om het getal begrip primair te stellen (zie bijvoorbeeld Heyting, Intuitionism. An Introduction, 1956). Dat wil zeggen, de rij der getallen 0,1,2,3, is intuitief, of anderszins, gegeven.
p. 21:
De existentie van de natuurlijke getallen is het gevolg van de tijdsintuitie. De volgende passage uit Points and Spaces (1954) onderlijnt kernachtig een aantal van Brouwers uitgangspunten. De eerste handeling van het intuitionisme maakt een volledige scheiding tussen wiskunde en de wiskundige taal (in het bijzonder de taalverschijnselen die beschreven worden door de theoretische logica). Hij erkent dat wiskunde een taalvrije activiteit van de geest is die zijn oorsprong heeft in het fundamentele verschijnsel van de waarneming van een tijdsbeweging, die een uit elkaar vallen van een levensmoment in twee verschillende dingen is, waarvan de een plaats maakt voor de ander, maar bewaard wordt door het geheugen. Als de zo ontstane tweeheid ontdaan wordt van elke eigenschap, blijft het gemeenschappelijke substratum van alle tweeheden over, de geestelijke schepping van de lege tweeheid. Deze lege tweeheid en de twee eenheden waaruit het is samengesteld, vormen de fundamentele wiskundige systemen.
W.V. Quine, From Stimulus To Science, 1995, p. 40:
Science would be hopelessly crippled without abstract objects. We quantify over them. In the harder sciences, numbers and other abstract objects bid fair to steal the show. Mathematics subsists on them, and serious hard science without mathematics is hard to imagine.
Prof. Dr. H. Bart, Oneindig, Wiskundig In het gareel, 2002, p. 75: Eerlijkheidshalve moet er op worden gewezen dat we het concept cardinaliteit of cardinaalgetal eigenlijk niet precies hebben gedefinieerd. Het is ook niet zo eenvoudig om dat te doen. Dat geldt, goed beschouwd, overigens ook voor de ons van kindsbeen af vertrouwde noties als drie, vijf of zeven. Ook die laten zich niet zo gemakkelijk precies definieren. Voor men het weet vervalt men in omschrijvingen als drie is dat wat alle verzamelingen bestaande uit drie elementen gemeen hebben, namelijk het drie-achtige; en daar ligt het vicieuze cirkel element dik bovenop. Het is echter maar de vraag in hoeverre dit te vermijden valt en of dit element niet bij veel begripsvorming een rol speelt.
(L.E.J. Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde, 1907, Stelling XXVI: Er is bij de logische behandeling der wiskunde niets tegen een petitio principii, mits die uit de intuitie wordt afgelezen.)
John D. Barrow, The Infinite Book, 2005, p. 94:
While Cantor distinguished three levels of infinity: in the mind of God (Absolute), in the mind of man (mathematical) and in the physical Universe (physical), he maintains that God instilled the concept of number, both finite and infinite, in the human mind to reflect His own perfection. He opposed completely the idea that transfinite numbers were merely the minds invention or some type of mental category to deal with notions that we could not perfectly capture.
Daniel C. Dennett, Gereedschapskist voor het denken, 2013, p. 52:
Er zijn denkers die Ockhams scheermes wel heel ver hebben doorgevoerd om te bewijzen dat zaken als tijd, materie, getallen, gaten, dollars, software enzovoort niet bestaan. Een van de eerste extreem spaarzame denkers was de Griekse filosoof Parmenides, wiens catalogus van bestaande dingen wel heel erg minimaal was. Een van mijn studenten heeft eens in een examen de onvergetelijke opmerking neergeschreven: Parmenides is degene die heeft gezegd: Er is maar 1 ding, en ik ben het niet. Ik zeg het niet graag, maar het lijkt inderdaad alsof Parmenides ons dat heeft willen vertellen.
p. 259:
Vrij zwevende grondgedachten zijn geenszins schimmiger of problematischer dan getallen of zwaartepunten. De negen planeten bestonden al voordat mensen een manier hadden verzonnen om rekenkunde te verwoorden, en asteroides hadden al zwaartepunten voor er natuurkundigen waren die op dat idee kwamen en ermee aan het rekenen sloegen. Maak trouwens niet de fout dat je getallen verwart met cijfers (Arabische, Romeinse et cetera), omdat die laatste slechts aanduidingen zijn. Cijfers zijn een menselijke uitvinding, getallen niet.
Aad van der Werf, 2017
In plaats van met de vraag: wat bedoelen we met het woord: getal, begin ik met de vraag, wat bedoelen we met het woord: hamer. De betekenis van de hamer kan beschreven worden door wat men er mee kan doen. Iedereen weet wat je met een hamer kunt doen. Verder kan een hamer mooi, lelijk, groot of klein zijn.
In de wiskunde moet het getal 1 onveranderlijk zijn: 1=1. Een fysiek object voldoet daar niet aan: dat verandert in de tijd. Pythagoras had voor dit probleem als oplossing 1=God, met het bijkomstige idee van de onveranderlijkheid. Samengevat: het getal 1, het fundament van de algebra, bestaat alleen maar mentaal.
L.E.J. Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde, 1907, p.3:
Een, twee, drie, de rij dezer klanken (gesproken ordinaalgetallen) kennen we uit ons hoofd als een reeks zonder einde, d.w.z. die zich altijd door voortzet volgens een als vast gekende wet. Naast deze rij van klankbeelden bezitten we andere volgens een vaste wet voortschrijdende voorstellingsreeksen, zo de rij der schrifttekens (geschreven ordinaalgetallen) 1,2,3.
Deze dingen zijn intuitief duidelijk.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, vertaald door W.F. Hermans, 2010, 1975, 1921, 6.021:
Het getal is de exponent van een operatie. (W.F. Hermans: Het hier beweerde heeft geen bijval gevonden.)
(www.sparknotes.com: Frege and Russell both developed ingenious systems to prove that the laws of mathematics could be inferred from basic logical axioms. Though they were largely successful there remained some tensions, as found in Russells Paradox and Russells Axiom of Infinity, which related to the conception of numbers as objects.
In defining mathematics as a method of logic (6.234) Wittgenstein suggests that numbers are not objects that can be constructed out of logical forms. Numbers are exponents of operations (6.021): they constitute a shorthand for expressing how many times an operation has been applied).
Ludwig Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, 1971, 1958, Teil I, 1: Ich gebe ihm einen Zettel, auf diesem stehen die Zeichen: funf rote Apfel.
Nun sagt er die Reihe der Grundzahlworter, ich nehme an, er weiss sie auswendig, bis zum Worte funf und bei jedem Zahlwort nimmt er einen Apfel aus der Lade.
Was ist aber die Bedeutung des Wortes funf? Von einer solchen war hier garnicht die Rede; nur davon, wie das Wort funf gebraucht wird.
Susanne K. Langer, An Introduction To Symbolic Logic, 1953, 1937, p. 312: The abstractness of mathematics has frequently enough been challenged, by thinkers (usually not mathematicians) who maintained that, since numbers express magnitudes and arrangements of things, they must ultimately represent concrete and specific things, or at least our ideas of them. Since mathematics is first approached by the art of counting, the very concept of number must rest upon counting. To the more thoughtful and philosophical among the mathematicians, this challenge offered a real problem. They felt, for the most part, that their critics were confusing the concept of number with the normal and perhaps universal conception by which it is first conveyed to people; but when they tried to define the concept itself, they found themselves at a loss. In what terms could it be defined? The psychological notions of counting proved unsatisfactory, in describing anything beyond the simple manipulation of finite real numbers. All irrational, imaginary, or transfinite numbers had to be regarded as fictions, as impossible assumptions contrary to sense and reason, which mathematicians, in some inexplicable way, found useful in their business.
A. Tarski, Inleiding tot de Logica, Nederlandse bewerking E.W. Beth, 1964, 1953, p. 3:
In de rekenkunde, bijvoorbeeld, vinden we constanten als getal, nul (0), een ( 1), som (.+.), en vele andere. Ieder van deze termen heeft een welbepaalde betekenis die in de loop der beschouwingen niet verandert.
S. Korner, The Philosophy of Mathematics, 1971, 1960, p. 52:
Following Frege and Russell the number 1 is defined as a property or, more usually, as a class, namely the class of all those classes each of which contains a single element.
D. van Dalen, Filosofische grondslagen van de wiskunde, 1978, p. 1-2:
Deze ervaring van ruim een halve eeuw extrapolerend komt men tot het standpunt alles is verzameling of wel WISKUNDE = VERZAMELINGSLEER. De bezwaren tegen genoemd standpunt zijn voornamelijk van inhoudelijke aard. De meeste mensen zullen bijvoorbeeld geneigd zijn om het getal begrip primair te stellen (zie bijvoorbeeld Heyting, Intuitionism. An Introduction, 1956). Dat wil zeggen, de rij der getallen 0,1,2,3, is intuitief, of anderszins, gegeven.
p. 21:
De existentie van de natuurlijke getallen is het gevolg van de tijdsintuitie. De volgende passage uit Points and Spaces (1954) onderlijnt kernachtig een aantal van Brouwers uitgangspunten. De eerste handeling van het intuitionisme maakt een volledige scheiding tussen wiskunde en de wiskundige taal (in het bijzonder de taalverschijnselen die beschreven worden door de theoretische logica). Hij erkent dat wiskunde een taalvrije activiteit van de geest is die zijn oorsprong heeft in het fundamentele verschijnsel van de waarneming van een tijdsbeweging, die een uit elkaar vallen van een levensmoment in twee verschillende dingen is, waarvan de een plaats maakt voor de ander, maar bewaard wordt door het geheugen. Als de zo ontstane tweeheid ontdaan wordt van elke eigenschap, blijft het gemeenschappelijke substratum van alle tweeheden over, de geestelijke schepping van de lege tweeheid. Deze lege tweeheid en de twee eenheden waaruit het is samengesteld, vormen de fundamentele wiskundige systemen.
W.V. Quine, From Stimulus To Science, 1995, p. 40:
Science would be hopelessly crippled without abstract objects. We quantify over them. In the harder sciences, numbers and other abstract objects bid fair to steal the show. Mathematics subsists on them, and serious hard science without mathematics is hard to imagine.
Prof. Dr. H. Bart, Oneindig, Wiskundig In het gareel, 2002, p. 75: Eerlijkheidshalve moet er op worden gewezen dat we het concept cardinaliteit of cardinaalgetal eigenlijk niet precies hebben gedefinieerd. Het is ook niet zo eenvoudig om dat te doen. Dat geldt, goed beschouwd, overigens ook voor de ons van kindsbeen af vertrouwde noties als drie, vijf of zeven. Ook die laten zich niet zo gemakkelijk precies definieren. Voor men het weet vervalt men in omschrijvingen als drie is dat wat alle verzamelingen bestaande uit drie elementen gemeen hebben, namelijk het drie-achtige; en daar ligt het vicieuze cirkel element dik bovenop. Het is echter maar de vraag in hoeverre dit te vermijden valt en of dit element niet bij veel begripsvorming een rol speelt.
(L.E.J. Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde, 1907, Stelling XXVI: Er is bij de logische behandeling der wiskunde niets tegen een petitio principii, mits die uit de intuitie wordt afgelezen.)
John D. Barrow, The Infinite Book, 2005, p. 94:
While Cantor distinguished three levels of infinity: in the mind of God (Absolute), in the mind of man (mathematical) and in the physical Universe (physical), he maintains that God instilled the concept of number, both finite and infinite, in the human mind to reflect His own perfection. He opposed completely the idea that transfinite numbers were merely the minds invention or some type of mental category to deal with notions that we could not perfectly capture.
Daniel C. Dennett, Gereedschapskist voor het denken, 2013, p. 52:
Er zijn denkers die Ockhams scheermes wel heel ver hebben doorgevoerd om te bewijzen dat zaken als tijd, materie, getallen, gaten, dollars, software enzovoort niet bestaan. Een van de eerste extreem spaarzame denkers was de Griekse filosoof Parmenides, wiens catalogus van bestaande dingen wel heel erg minimaal was. Een van mijn studenten heeft eens in een examen de onvergetelijke opmerking neergeschreven: Parmenides is degene die heeft gezegd: Er is maar 1 ding, en ik ben het niet. Ik zeg het niet graag, maar het lijkt inderdaad alsof Parmenides ons dat heeft willen vertellen.
p. 259:
Vrij zwevende grondgedachten zijn geenszins schimmiger of problematischer dan getallen of zwaartepunten. De negen planeten bestonden al voordat mensen een manier hadden verzonnen om rekenkunde te verwoorden, en asteroides hadden al zwaartepunten voor er natuurkundigen waren die op dat idee kwamen en ermee aan het rekenen sloegen. Maak trouwens niet de fout dat je getallen verwart met cijfers (Arabische, Romeinse et cetera), omdat die laatste slechts aanduidingen zijn. Cijfers zijn een menselijke uitvinding, getallen niet.
Aad van der Werf, 2017
